Interpolación numérica. ¿Qué hay detrás de Chebfun?

Abstract

RESUMEN: Este trabajo se centra en algunas cuestiones de interpolación polinomial relacionadas con la computación numérica y que ser an ilustradas con el software Chebfun en MATLAB. En particular presentamos algunas propiedades de distintos conjuntos de nodos de interpolación como son, los puntos equiespaciados y los puntos de Chebyshev de primera y segunda especie. Por otra parte, tambi en consideramos las ventajas de los polinomios de Chebyshev respecto de los monomios en el ambito computacional. En cuanto al software Chebfun, analizamos cómo determina el grado adecuado del polinomio interpolador, cómo calcula los coeficientes que lo definen usando la transformada rápida de Fourier (FFT) y, finalmente, cómo evalúa dicho polinomio con un algoritmo estable y rápido basado en la fórmula del baricentro.

ABSTRACT: This work focuses on some polynomial interpolation issues close to numerical computation. These questions will be illustrated computationally with the help of Chebfun software package in MATLAB. In particular, we will consider several sets of interpolation nodes such as the equispaced points, the first-kind Chebyshev points and the second-kind ones and we will analyse some of their properties. On the other hand, we will highlight the advantages of Chebyshev polynomials with respect to the monomials. Moreover, we will analyse how the Chebfun software establishes the right degree of the polynomial interpolant and, how it computes its coefficients by using the fast Fourier transform (FFT) and, finally we will see how it evaluates that polynomial by using a fast and stable algorithm which relies on the barycentric formula.