Computación de funciones hipergeométricas y su aplicación a las cuadraturas gaussianas

Abstract

Dentro de la matemática computacional, el desarrollo de algoritmos eficientes para evaluar funciones matemáticas constituye una línea de incuestionable utilidad, por sus numerosas aplicaciones en diversos campos de la ciencia, ingeniería y economía. Desde esta perspectiva, el cálculo de funciones de tipo hipergeométrico es particularmente relevante.

Abordar el problema de obtener un método eficiente para evaluar numéricamente las funciones hipergeométricas para todos los rangos admisibles de parámetros es una tarea complicada que parece que no va a encontrar solución a medio plazo. Sin embargo, ya se dispone de software para la evaluación de este tipo de funciones para algunos casos particulares, como las funciones gamma incompletas y que describimos en el primer capítulo de la tesis.

Otros aspectos a tener en cuenta en la obtención de métodos numéricos para la evaluación de funciones es la región de aplicabilidad de dichos procedimientos. En este sentido, es interesante disponer de acotaciones para las funciones involucradas, como tal es el caso de las cotas que describimos en el segundo capítulo de la tesis para cocientes de funciones de Bessel modificadas.

Como ya hemos mencionado, las funciones hipergeométricas están presentes en multitud de problemas científicos, pero también aparecen implicadas en diferentes ámbitos de la matemática como el análisis numérico; de hecho, uno de los aspectos centrales de esta tesis es la evaluación numérica de nodos y pesos de una de las reglas de cuadratura numérica más populares: las reglas de cuadratura gaussianas. Para calcular cuadraturas gaussianas de orden moderado, un algoritmo bien conocido es el algoritmo de Golub-Welsch. Sin embargo, dicho método no es eficiente para cuadraturas de orden alto, para las que es preferible usar métodos iterativos. En el último capítulo de la tesis se describen métodos iterativos para el cálculo de las cuadraturas clasicas de Gauss-Hermite y Gauss-Laguerre para órdenes de cuadratura tanto grandes como pequeños y que además tienen convergencia garantizada. Dichos métodos combinan varios esquemas de evaluación numérica de los polinomios ortogonales implicados junto a un método de punto fijo convergente globalmente y con orden de convergencia 4.