@misc{10902/37037,
year = {2025},
month = {6},
url = {https://hdl.handle.net/10902/37037},
abstract = {En este trabajo se estudia la teoría de las aplicaciones de recubrimiento desde un enfoque topológico. Comenzamos introduciendo el concepto de aplicación de recubrimiento, que en particular son homeomorfismos locales, y exploramos su relación con el grupo fundamental. A continuación, mostramos cómo los automorfismos de un recubrimiento forman un grupo que guarda una estrecha relación con el grupo fundamental, culminando en un teorema de clasificación de recubrimientos análoga a la teoría de Galois. Posteriormente, introducimos las variedades complejas y, en particular, las superficies de Riemann, como contexto natural para estudiar funciones holomorfas. Se analiza cómo las aplicaciones holomorfas propias entre estas superficies se comportan como recubrimientos ramificados, un tipo de aplicaciones que son de recubrimiento al restringirse a un subespacio. Probaremos la equivalencia entre aplicaciones holomorfas propias y recubrimientos ramificados, lo cual nos permite construir un grupo de automorfismos para las aplicaciones propias holomorfas. Finalmente, se establece una conexión entre los recubrimientos ramificados de superficies de Riemann y las extensiones de cuerpos de funciones meromorfas, dando una equivalencia entre ambos conjuntos lo cual permite obtener grupos de Galois a partir de aplicaciones holomorfas propias. En particular, se muestra que todo grupo finito puede realizarse como el grupo de Galois de una extensión del cuerpo C(t).},
abstract = {In this work, we study the theory of covering maps from a topological perspective. We begin by introducing the concept of a covering map, a particular type of local homeomorphism, and we explore its relationship with the fundamental group. Then we show how the automorphisms of a covering form a group that is closely related to the fundamental group, culminating in a classification theorem for coverings analogous to Galois theory. Next, we introduce complex manifolds and, in particular, Riemann surfaces as the natural setting for studying holomorphic functions. We analyze how proper holomorphic maps between these surfaces behave as branched coverings, a type of map that restricts to a covering on a subspace. We establish an equivalence between proper holomorphic maps and branched coverings, which allows us to construct an automorphism group for proper holomorphic maps. Finally, we establish a connection between branched coverings of Riemann surfaces and extensions of fields of meromorphic functions, giving an equivalence between these two settings that enables the construction of Galois groups from proper holomorphic maps. In particular, we show that every finite group can be realized as a Galois group of an extension of the field C(t).},
title = {Aplicaciones de recubrimiento y superficies de Riemann},
author = {Suengas Rodríguez, Eduardo},
}